a) Để chứng minh rằng với mọi k thì đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta sẽ xem xét điều kiện cắt của đường thẳng và parabol.

Phương trình đường thẳng d có dạng y = kx + c, với c là hằng số.

Thay vào phương trình của parabol, ta có: x^2 = kx + c

Đây là một phương trình bậc hai. Để có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là delta (Δ) của phương trình bậc hai phải lớn hơn 0.

Delta (Δ) của phương trình x^2 - kx - c = 0 là: Δ = k^2 + 4c

Với mọi k, ta có k^2 > 0 và c là hằng số, vậy Δ luôn lớn hơn 0. Điều này cho thấy đường thẳng d và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Với k = 2, ta có phương trình đường thẳng d là: y = 2x + c

Đi qua điểm A(1, 2), ta có 2 = 2(1) + c, suy ra c = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d là y = 2x.

Để chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt và A làm trung điểm, ta sẽ tìm giao điểm của (d) và (P).

Thay y = 2x vào phương trình của parabol (P), ta có: x^2 = 2x

Điều này tương đương với phương trình x^2 - 2x = 0.

Phân tích phương trình này, ta có x(x - 2) = 0.

Vậy ta có hai giá trị x = 0 và x = 2.

Thay giá trị x vào phương trình đường thẳng (d), ta có y = 2(0) = 0 và y = 2(2) = 4.

Từ đó, ta thấy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt (0, 0) và (2, 4). Và A(1, 2) là trung điểm của hai điểm đó.

Vậy đã chứng minh được đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và A làm trung điểm.