Đường thẳng (d) cắt đồ thị của hàm số y = (m-2)x + m² - 2 tại điểm M(x0, y0) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
{ y = (m-2)x + m² - 2
{ y = x + 2
Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng trừ và tính được tọa độ của điểm M:
x0 = (m² - 4m - 4)/(m - 3)
y0 = (m² - 2m - 2)/(m - 3)
Thay vào biểu thức P = x0² - 3y0² - 3 ta được:
P = [(m² - 4m - 4)/(m - 3)]² - 3[(m² - 2m - 2)/(m - 3)]² - 3
Simplifying the expression above, we get:
P = (-2m⁴ + 25m³ - 69m² + 44m + 45)/(m - 3)²
Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số phân thức trên. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số phân thức và giải phương trình f'(m) = 0:
f'(m) = [2(m-3)(-2m³ + 25m² - 96m + 81) + (m-3)²(8m² - 138m + 405)] / (m-3)⁴
f'(m) = (-2m⁴ + 25m³ - 69m² + 44m + 45)' / (m-3)²
f'(m) = (-8m³ + 75m² - 138m + 44) / (m-3)²
Để giải phương trình f'(m) = 0, ta có thể sử dụng phương pháp Newton-Raphson hoặc sử dụng định lý giá trị trung bình để tìm khoảng chứa nghiệm và sử dụng phương pháp chia đôi hoặc phương pháp dây cung để xấp xỉ nghiệm. Sau khi tính được giá trị của m tại điểm cực trị, ta sẽ tính được giá trị nhỏ nhất của P bằng cách thay giá trị của m vào biểu thức của P.