câu 4:
a. Để tìm ma trận của dạng toàn phương f, ta cần xác định các hệ số của các biểu thức bậc hai và bậc một của các biến x1, x2, x3. Ta có:

Vậy, ma trận của dạng toàn phương f là:
| 2 4 -3 |
| 4 3 2 |
|-3 2 -5 |

Để tìm hạng của f, ta có thể sử dụng phương pháp Gauss hoặc phương pháp khác. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng ma trận này có định thức khác 0, do đó hạng của f là 3.

b. Để tìm dạng chính tắc của f, ta cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận f. Sau khi tính toán, ta có các giá trị riêng λ1 = 7, λ2 = -3 và λ3 = 0, và các vectơ riêng tương ứng là:

v1 = (1, 2, -1)
v2 = (-1, 1, 2)
v3 = (1, -2, 2)

Ta có thể viết dạng chính tắc của f dưới dạng:

f = 7y1^2 - 3y2^2

trong đó y1 và y2 lần lượt là các biến mới được định nghĩa bằng cách quy đổi từ các biến x1, x2, x3 theo công thức:

y1 = v1x1 + v2x2 + v3x3
y2 = v1x1 - v2x2

Vậy, dạng chính tắc của f là 7y1^2 - 3y2^2.

• Hệ số của x1^2 là 2.
• Hệ số của x2^2 là 3.
• Hệ số của x3^2 là -5.
• Hệ số của x1x2 là 8.
• Hệ số của x1x3 là -6.
• Hệ số của x2x3 là 4.