Để tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa tổng thể tích của hai hình đó.

Gọi x là chiều rộng của hình hộp chữ nhật, vậy chiều dài của hình hộp chữ nhật là 6x và chiều cao của hình hộp chữ nhật cũng là x.

Tổng thể tích của hai hình là:
V = V_lap_phuong + V_hop_chu_nhat

V_lap_phu (vì chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình lập phương đều bằng x)
V_hop_chu_nhat = (6x) * x * x = 6x^3

V = x^3 + 6x^3 = 7x^3

Ta cần tìm giá trị của x sao cho V đạt giá trị nhỏ nhất.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của V, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Đạo hàm của V theo x là:

dV/dx = 21x^2

Để tìm điểm cực tiểu, ta giải phương trình dV/dx = 0:

21x^2 = 0
x^2 = 0
x = 0

Điểm x = 0 không có ý nghĩa trong bài toán này.

Tiếp theo, ta cần xác định giá trị của x trong khoảng xác định để tìm giá trị nhỏ nhất của V. Để xác định điểm cực tiểu, ta có thể xem xét đạo hàm lần thứ hai:

d^2V/dx^2 = 42x

Với d^2V/dx^2 > 0, ta có điểm cực tiểu.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của V đạt được khi x = 0 không có ý nghĩa trong bài toán này.

Do đó, để tổng thể tích của hai hình thu được là nhỏ nhất, ta không cần cắt cây sắt và giữ nguyên độ dài ban đầu là 100 dm.