a, Ta có:
S = 5 + 5² + 5³ + … + 5ⁿ
5S = 5² + 5³ + … + 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹
S - 5S = 5 - 5ⁿ⁺¹
S = (5ⁿ⁺¹ - 1)/4
Ta thấy rằng 5ⁿ⁺¹ - 1 luôn chia hết cho 6 và chia hết cho 31 khi n chia hết cho 5 (do 5^5 = 3125 chia hết cho 31). Vậy S chia hết cho 31.

b, Ta có:
4S = 20 + 20² + 20³ + … + 20ⁿ
20S = 20² + 20³ + … + 20ⁿ + 20ⁿ⁺¹
4S - 20S = -20 + 20ⁿ⁺¹
S = (20ⁿ⁺¹ - 5)/16
Ta thấy rằng 20ⁿ⁺¹ - 5 luôn chia hết cho 3 và không chia hết cho 4. Vậy S không phải là số chính phương.