Để G là trung điểm của AM, ta cần phải chứng minh AG = GM.
Ta có:
- Từ trung tuyến AM, ta có AM = MB.
- G là trung điểm của DE, ta có GD = GE.
- Từ hai tia phân giác góc AMB và AMC, ta có:
+ $\angle BMD = \angle AMB/2 = \angle AMC/2 = \angle CME$
+ $\angle MBD = \angle MCD$
Vậy tam giác BMD đồng dạng với tam giác CME.
- Từ đồng dạng tam giác, ta có:
+ $\frac{BD}{ME} = \frac{BM}{MC}$
+ $\frac{MD}{CE} = \frac{BM}{MC}$
Vậy $\frac{BD}{ME} = \frac{MD}{CE}$, hay $\frac{BD}{MD} = \frac{ME}{CE}$.
- Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ABC, ta có:
+ $\frac{BD}{AB} = \frac{DM}{AM}$
+ $\frac{CE}{AC} = \frac{EM}{AM}$
Vậy $\frac{BD}{DM} = \frac{AB}{AM}$ và $\frac{CE}{EM} = \frac{AC}{AM}$.
- Từ $\frac{BD}{MD} = \frac{ME}{CE}$ và $\frac{BD}{DM} = \frac{AB}{AM}$, ta có:
+ $\frac{AB}{AM} = \frac{BD}{MD} = \frac{ME}{CE} = \frac{AC}{AM}$
+ $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AM} = 1$
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
- Khi đó, ta có AM là đường trung tuyến và đường cao của tam giác đều ABC, nên G là trung điểm của AM.
Vậy điều kiện của tam giác ABC để G là trung điểm của AM là tam giác ABC là tam giác đều.