ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) = -2abc
ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = 0
a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = 0
(a^2b + ab^2 + 2abc) + (b^2c + bc^2 + 2abc) + (c^2a + ca^2 + 2abc) = 0
ab(a + b + 2c) + bc(b + c + 2a) + ca(c + a + 2b) = 0
Sử dụng điều kiện a + b + c = 2023, thay vào phương trình ta có:
ab(2023 + 2c) + bc(2023 + 2a) + ca(2023 + 2b) = 0
Đặt x = 2023 + 2a, y = 2023 + 2b, z = 2023 + 2c, phương trình trở thành:
abx + bcy + caz = 0
Giả sử không tồn tại số nào trong a, b, c bằng 2023, tức là a ≠ 2023, b ≠ 2023, c ≠ 2023.
Khi đó, x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0.
Phương trình abx + bcy + caz = 0 không thể xảy ra nếu x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 vì lúc này các số a, b, c đều không bằng 2023.
Do đó, giả sử sai, tức là phải tồn tại ít nhất 1 số trong a, b, c bằng 2023.