Để chứng tỏ rằng phân số $\frac{8n+3}{6n+2}$ là phân số tối giản với $n$ thuộc số tự nhiên, ta cần chứng minh rằng phân số này không thể rút gọn được.

Giả sử phân số $\frac{8n+3}{6n+2}$ có thể rút gọn được, tức là tử số và mẫu số có thể chia hết cho một số nguyên dương lớn hơn 1. Ta gọi số nguyên dương này là $d$.

Khi đó, ta có:
$8n+3 = d \cdot a$
$6n+2 = d \cdot b$

Trong đó, $a$ và $b$ là các số nguyên dương.

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:
$8n+3 = 3(2n+1) + 2n$
$6n+2 = 2(3n+1)$

Do $d$ là ước chung của cả $8n+3$ và $6n+2$, nên $d$ cũng là ước chung của $2n$ và $2n+1$. Tuy nhiên, $2n$ và $2n+1$ là hai số liên tiếp, nên ước chung lớn nhất của chúng là 1. Điều này suy ra $d=1$.

Vậy, phân số $\frac{8n+3}{6n+2}$ không thể rút gọn được, tức là nó là phân số tối giản với $n$ thuộc số tự nhiên.