Để chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x, ta cần chứng minh rằng nó không bao giờ nhận giá trị âm.

Biểu thức đã cho là: 3x^2 - 9x^2 + 5.

Để tìm điều kiện để biểu thức không nhận giá trị âm, ta cần giải phương trình:

3x^2 - 9x^2 + 5 > 0.

Kết hợp các thành phần tương tự, ta có:

-6x^2 + 5 > 0.

Để giải phương trình này, ta cần tìm điều kiện để hàm số y = -6x^2 + 5 > 0.

Để hàm số này không nhận giá trị âm, ta cần tìm điều kiện để nó không có điểm cắt với trục hoành (trục x) khi nó cắt trục hoành, giá trị của y sẽ nhận giá trị âm.

Để tìm điều kiện này, ta cần tìm điểm cắt của hàm số với trục hoành bằng cách giải phương trình:

-6x^2 + 5 = 0.

Giải phương trình trên, ta có:

-6x^2 = -5.

Chia cả hai vế của phương trình cho -6, ta có:

x^2 = 5/6.

Lấy căn bậc hai cả hai vế của phương trình, ta có:

x = ±√(5/6).

Vậy, điều kiện để biểu thức không nhận giá trị âm là x không thuộc đoạn [-√(5/6), √(5/6)].

Do đó, biểu thức 3x^2 - 9x^2 + 5 luôn dương với mọi x không thuộc đoạn [-√(5/6), √(5/6)].