Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn và tam giác.

Gọi B là giao điểm của đường thẳng AM và đường tròn O. Ta cần chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác cân.

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn O nên góc OAM = góc OBM (do cùng là góc nội tiếp chắn cung AM).

Vì AN cũng là tiếp tuyến của đường tròn O nên góc OAN = góc OBN (do cùng là góc nội tiếp chắn cung AN).

Vì AM = AN nên tam giác OAM và tam giác OAN là hai tam giác cân.

Do đó, góc OMA = góc ONA (do cùng là góc trong tam giác cân).

Vì AO là phân giác góc MAN nên góc OMA = góc ONA = 1/2 góc MAN.

Tương tự, ta có góc ONM = góc OMN = 1/2 góc MON.

Vì góc OMA = góc ONM và góc OAM = góc ONM nên tam giác OMA và tam giác ONM là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có:

OM/AM = ON/AN (định lý đồng dạng tam giác)

OM/AM = ON/AN = 1/2 (do góc OMA = góc ONM = 1/2 góc MAN và góc OMN = góc ONA = 1/2 góc MON)

Vậy ta đã chứng minh được rằng tam giác OMA và tam giác ONM là hai tam giác đồng dạng và OM/AM = ON/AN = 1/2.