Để giải thích tại sao nếu A + b chia hết cho m và A chia hết cho m thì b chia hết cho m, ta sẽ sử dụng tính chất của phép chia hết.

Giả sử A + b chia hết cho m và A chia hết cho m. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên k và l sao cho:

A + b = km (1)
A = lm (2)

Từ phương trình (2), ta có thể suy ra bằng cách trừ cả hai vế của phương trình (1) với A:

(A + b) - A = km - lm
b = (k - l)m

Vì k và l là hai số nguyên, nên (k - l) cũng là một số nguyên. Điều này cho thấy b chia hết cho m.

Vậy, nếu A + b chia hết cho m và A chia hết cho m, thì b chia hết cho m.

Giả sử a chia hết cho m và b không chia hết cho m
Khi đó: a có dạng m.k 
            b có dạng m.k + n (n ∈ N, n < m)
--> a + b = m.k + m.k + n
               = 2.m.k + n
Kết quả trên khi chia cho m sẽ dư n (trái với giả thiết ban đầu)
Vậy a + b chia hết cho m và a chia hết cho m thì b chia hết cho m