a) Chứng minh AB = BC :
Vì hình thang cân ABCD có AB//CD và AD = BC, ta xét tam giác ABD và tam giác BCD.
Ta có: - AD = BC (gi given)
- AB//CD (gi given)
- Tam giác ABD và tam giác BCD cân tại A và B (vì hình thang cân)
Do đó, ta có hai tam giác ABD và BCD đồng dạng (theo điều kiện đồng dạng AAA). Vậy, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: (AB)/(BD) = (BC)/(CD). Do AB//CD, ta cũng có (AB)/(BD) = (CD)/(DB).
Từ hai phương trình trên, suy ra: (BC)/(CD) = (CD)/(DB) .
=> BC × DB = CD^2.
Vì AB < CD, nên ta có: BC × DB < CD^2. Từ đó, suy ra: AB < CD.
Như vậy, ta có: AB < CD < BC.
Vì AB < BC và AB = BC (theo tính chất của hình thang cân), nên ta kết luận rằng AB = BC.
b. Để chứng minh DB là tia phân giác của góc ADC, ta cần chứng minh DB chia góc ADC thành hai góc bằng nhau.
Gọi P là giao điểm của DB và AC.
Ta có:- Vì hình thang ABCD là hình thang cân, nên tứ giác ABCD là tứ giác cân.
- Ta có AD = BC (vì hình thang cân).
- AB // CD (vì hình thang cân).
- Do đó, ta có hai tam giác ABC và DAB là tam giác đồng dạng (theo định lí góc đồng dạng).
Từ đó, ta có góc ABC = góc DAB (vì góc giữa hai dạng tam giác đồng dạng là bằng nhau).
- Ta có AB // CD (dựa vào điều kiện của hình thang cân).
- Vậy, ta có góc ABC = góc ADC (góc đồng tranh).
- Suy ra, góc ABC = góc DAB = góc ADC.
=> Góc PDB = góc......