Chứng minh cặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: 5m + 1 và 4m + 1

Để chứng minh rằng hai số 5m + 1 và 4m + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng định lý Euclid.

Giả sử 5m + 1 và 4m + 1 không là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là chúng có một ước chung lớn hơn 1.

Ta xét số nguyên dương k là ước chung của 5m + 1 và 4m + 1. Vì k là ước chung của cả hai số, nên k chia hết cho cả 5m + 1 và 4m + 1.

Ta có:
(5m + 1) - (4m + 1) = m

Vậy m chia hết cho k.

Từ đó, ta có:
(4m + 1) - 4m = 1

Vậy 1 chia hết cho k.

Tuy nhiên, 1 là số nguyên tố duy nhất và không có ước chung với bất kỳ số nguyên tố nào khác. Do đó, giả thuyết ban đầu là sai.

Vậy hai số 5m + 1 và 4m + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.