Để tìm số nguyên dương x để P đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √x/(√x + 3).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta có thể tìm giá trị lớn nhất của mẫu số (√x + 3) để giá trị của P nhỏ nhất.

Ta biết rằng, để mẫu số (√x + 3) đạt giá trị lớn nhất, thì √x cũng phải đạt giá trị lớn nhất. Vì vậy, ta cần tìm giá trị lớn nhất của √x.

Giả sử √x = a, với a là một số thực dương. Ta có:

(√x + 3) = a + 3.

Để (√x + 3) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của a.

Ta biết rằng, a + 3 đạt giá trị lớn nhất khi a đạt giá trị lớn nhất. Vì vậy, ta cần tìm giá trị lớn nhất của a.

Ta biết rằng, a = √x, với a là một số thực dương. Vì vậy, ta cần tìm giá trị lớn nhất của √x.

Giá trị lớn nhất của √x là khi x đạt giá trị lớn nhất. Vì x là một số nguyên dương, nên giá trị lớn nhất của x là ∞ (vô cùng).

Vậy, không tồn tại số nguyên dương x để P đạt giá trị nhỏ nhất.