Cho tam giác ABC vuông tại A, AH⊥BC. Gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên AC, AB. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của các đường tròn đường kính HB, HC

Ta có tam giác AHF và AHE là tam giác vuông tại H, nên:
- $\angle HAF = \angle HAE = 90^\circ$
- $\angle AHE = \angle AFH = 90^\circ$
Do đó, tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (1).
Ta có:
- $\angle HBC = \angle HAC = \angle HAE$
- $\angle HCB = \angle HAB = \angle HAF$
Do đó, tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (2).
Từ (1) và (2), ta suy ra tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp trong hai đường tròn (1) và (2).
Vậy, EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (1) và (2).