Cho đường tròn (O; R) và AB là đường kính

a) Ta có OM.OM' = ON.ON' = R^2, suy ra tứ giác OMOM' và ONON' là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có:
∠OMM' = ∠ONN' (cùng nằm trên cùng một cung MN)
∠OM'N' = ∠OMN (cùng nằm trên cùng một cung MN')
∠ON'N = ∠ONM' (cùng nằm trên cùng một cung MM')

Từ đó, ta có:
∠OMM' + ∠OM'N' + ∠ON'N + ∠ONN' = 360°

Vậy bốn điểm M, N, M', N' thuộc cùng một đường tròn.

b) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng bốn điểm M, N, M', N' thuộc cùng một đường tròn. Khi điểm M chuyển động trên đường trung trực d của OB, điểm M' cũng chuyển động theo và thuộc cùng một đường tròn. Vì vậy, điểm M' thuộc một đường tròn cố định.

c) Gọi A là điểm đối xứng của O qua d. Ta có OA = OB = R. Khi đó, tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M nằm trên đường thẳng OA. Do đó, vị trí điểm M để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất là khi M là giao điểm của đường trung trực d và đường thẳng OA.

d) Gọi A là điểm đối xứng của O qua d. Ta có OA = OB = R. Tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M nằm trên đường thẳng OA hoặc nằm ngoài đường tròn (O;R). Vì vậy, vị trí điểm M để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất là khi M là giao điểm của đường trung trực d và đường thẳng OA hoặc nằm ngoài đường tròn (O;R).