a) Để n7 là số nguyên tố, ta cần n7 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Vì n là số tự nhiên, nên n7 không chia hết cho 7. Do đó, n7 là số nguyên tố khi và chỉ khi n = 1.

b) Tương tự như trường hợp trên, để 7n là số nguyên tố, ta cần 7n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Vì 7 là số nguyên tố, nên để 7n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó, ta cần n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Do đó, n là số nguyên tố.

c) Để n^2 + 2n là số nguyên tố, ta cần n^2 + 2n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Ta có thể viết lại n^2 + 2n = n(n + 2). Để n(n + 2) không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó, ta cần n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó, và n + 2 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Vì n + 2 có thể là số nguyên tố, nên ta cần n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Do đó, n là số nguyên tố.

d) Để 4.n + 11 là số nguyên tố, ta cần 4.n + 11 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Ta có thể viết lại 4.n + 11 = 4(n + 2) + 3. Để 4(n + 2) + 3 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó, ta cần n + 2 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó. Vì n < 5, nên ta chỉ cần kiểm tra n = 3 và n = 4. Khi n = 3, 4(n + 2) + 3 = 19 không phải số nguyên tố. Khi n = 4, 4(n + 2) + 3 = 23 là số nguyên tố. Do đó, n = 4.