Chứng minh (x; y)= 1

Giả sử (x, y) ≠ 1, tức là x và y có ước chung khác 1. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương k sao cho x = ka và y = kb, với (a, b) = 1.

Thay vào điều kiện x⁵ + y chia hết cho x² + y² ta có:
(k⁵a⁵ + k⁵b) chia hết cho (k²a² + k²b²)
k⁵(a⁵ + b) chia hết cho k²(a² + b²)
k³(a⁵ + b) chia hết cho a² + b²

Vì (a, b) = 1, nên (a² + b², a⁵ + b) = 1. Tuy nhiên, k³(a⁵ + b) chia hết cho a² + b², do đó k³(a⁵ + b) phải chia hết cho 1, tức là k³(a⁵ + b) = 1.

Vì k là số nguyên dương, nên k = 1. Khi đó, x = a và y = b, suy ra (x, y) = 1.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu x⁵ + y và y⁵ + x cùng chia hết cho x² + y² thì (x, y) = 1.