Để giải phương trình 3x^2+3y^2+4xy+2x-2y+2=0, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối chặn.

Đặt A = 3, B = 4, C = 3, D = 2, E = -2, F = 2. Ta có:

3x^2 + 3y^2 + 4xy + 2x - 2y + 2 = 0
⇔ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Để hoàn thành khối chặn, ta cần thêm một số hạng vào cả hai vế của phương trình để biến đổi thành một tổng bình phương. Ta có:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = (Ax^2 + 2Bxy + Cy^2) + (Bxy + Dx + Ey) + F
= (Ax^2 + 2Bxy + B^2y^2) + (Cy^2 - B^2y^2 + Dx + Ey) + F
= (Ax + By)^2 + (Cy^2 - B^2y^2 + Dx + Ey) + F

Do đó, phương trình ban đầu có thể viết lại thành:

(Ax + By)^2 + (Cy^2 - B^2y^2 + Dx + Ey) + F = 0

Để đơn giản hóa phương trình, ta cần tìm một số m để biểu thức trong ngoặc tròn bên trái trở thành một bình phương hoàn hảo. Ta có:

Cy^2 - B^2y^2 + Dx + Ey = (C - B^2)y^2 + (Dx + Ey)
= (C - B^2)y^2 + (Dx + Ey) + (B^2 - B^2)y^2
= (C - B^2 + B^2)y^2 + (Dx + Ey) + (B^2 - B^2)y^2
= Cy^2 + (Dx + Ey) + (B^2 - B^2)y^2
= Cy^2 + (Dx + Ey) + B^2(y^2 - 1)

Để biểu thức trên trở thành một bình phương hoàn hảo, ta cần:

C - B^2 + B^2 = 0
⇔ C = B^2

Với B = 4, ta có C = 16.

Do đó, phương trình ban đầu có thể viết lại thành:

(Ax + By)^2 + (Cy^2 - B^2y^2 + Dx + Ey) + F = 0
⇔ (Ax + By)^2 + (16y^2 - 16y^2 + Dx + Ey) + F = 0
⇔ (Ax + By)^2 + (Dx + Ey) + F = 0

Với D = 2, E = -2, F = 2, ta có:

(Ax + By)^2 + (Dx + Ey) + F = 0
⇔ (Ax + By)^2 + (2x - 2y) + 2 = 0
⇔ (Ax + By)^2 + 2(x - y + 1) = 0

Đặt u = Ax + By và v = x - y + 1, ta có:

(Ax + By)^2 + 2(x - y + 1) = 0
⇔ u^2 + 2v = 0
⇔ u^2 = -2v

Với u^2 = -2v, ta có u = 0 và v = 0. Do đó, Ax + By = 0 và x - y + 1 = 0.

Từ Ax + By = 0, ta có Ax = -By. Thay vào x - y + 1 = 0, ta có:

-By = -y - 1
⇔ By = y + 1
⇔ B = 1 + 1/y

Thay B = 1 + 1/y vào Ax = -By, ta có:

Ax = -(-y - 1)y
⇔ Ax = (y + 1)y
⇔ A = y(y + 1)/x

Từ đó, ta có hệ phương trình:

Ax + By = 0
⇔ y(y + 1)/x + 1 + 1/y = 0
⇔ y(y + 1) + x + xy = 0
⇔ y^2 + y + x + xy = 0

Từ x - y + 1 = 0, ta có x = y - 1. Thay vào y^2 + y + x + xy = 0, ta có:

y^2 + y + (y - 1) + (y - 1)y = 0
⇔ y^2 + y + y - 1 + y^2 - y - y + 1 = 0
⇔ 2y^2 = 0
⇔ y = 0

Thay y = 0 vào x = y - 1, ta có x = -1.

Vậy, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là (x, y) = (-1, 0).

Để tính giá trị biểu thức P = (x + y)^2019 + (x + 2)^2020 + (y + 2)^2021, ta thay x = -1 và y = 0 vào:

P = (-1 + 0)^2019 + (-1 + 2)^2020 + (0 + 2)^2021
= (-1)^2019 + 1^2020 + 2^2021
= -1 + 1 + 2^2021
= 2^2021

Vậy, giá trị của biểu thức P là 2^2021.