Để chứng minh rằng nếu abc + den chia hết cho 37 thì abcden cũng chia hết cho 37, ta sẽ sử dụng tính chất của phép chia.

Giả sử abc + den chia hết cho 37, tức là tổng abc + den là một số nguyên dương k nhân 37, với k là một số nguyên dương bất kỳ.

Ta có:

abcden = abc * 1000 + den

Vì abc + den chia hết cho 37, nên ta có:

abc + den = 37m (với m là một số nguyên dương bất kỳ)

Thay abc + den vào biểu thức abcden, ta có:

abcden = (37m - den) * 1000 + den
= 37000m - 1000den + den
= 37000m - 999den

Ta thấy rằng abcden cũng chia hết cho 37, vì:

abcden = 37m * 1000 - 999den
= 37(1000m - 27den)

Vì 1000m - 27den là một số nguyên, nên abcden chia hết cho 37.

Vậy, nếu abc + den chia hết cho 37 thì abcden cũng chia hết cho 37.