Giả sử x không phải là số chính phương. Khi đó, x có thể được viết dưới dạng x = a^2 + b, với a là một số tự nhiên và b là một số nguyên không chính phương.

Thay x vào phương trình x^2 + y = c^2, ta có:
(a^2 + b)^2 + y = c^2
a^4 + 2a^2b + b^2 + y = c^2

Do a^4 + 2a^2b + b^2 là số chính phương, nên y cũng phải là số chính phương. Gọi y = d^2, với d là một số tự nhiên.

Thay y = d^2 vào phương trình x + y^2 = e^2, ta có:
a^2 + b + d^4 = e^2

Do a^2 + b là số chính phương, nên d^4 cũng phải là số chính phương. Tuy nhiên, d^4 chỉ có thể là số chính phương khi d = 0 hoặc d = 1.

Nếu d = 0, ta có y = 0, từ đó suy ra x = a^2 + b = a^2, tức x là số chính phương.

Nếu d = 1, ta có y = 1, từ đó suy ra x = a^2 + b = a^2 + 1. Tuy nhiên, x = a^2 + 1 không thể là số chính phương vì a^2 + 1 không thể là bình phương của một số tự nhiên.

Vậy giả sử x không phải là số chính phương là sai. Tương tự, ta chứng minh được y cũng là số chính phương.

Vậy x và y đều là số chính phương.