a) Ta có:

• �E là trung điểm của ��AB, nên ��=��AE=EB.
• �F là trung điểm của ��CD, nên ��=��CF=FD.
• Vì ����ABCD là hình bình hành nên ��∥��AB∥CD và ��∥��AD∥BC, do đó ��∥��AE∥CF và ��∥��EB∥DF.

Kết hợp các điều trên, ta thấy tứ giác ����ADFE có các cạnh lần lượt bằng nhau (��=��=��=��AE=EB=CF=FD) và hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của nhau. Do đó, tứ giác ����ADFE là hình thoi.

b) Ta đã biết �E là trung điểm của ��AB và �F là trung điểm của ��CD, suy ra ��EF song song và bằng 1221​ độ dài ��BC.

Xét hai tam giác ���BFC và ���EFC, chúng có:

• ��=2��=2��BF=2BC=2EF
• ��=��CF=CF
• ��=��EC=EC

Do đó, theo tính chất của tam giác đều, ta có ��=2��BF=2EC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng ��EC vuông góc với ��BF.

c) Để tứ giác ����EMFN là hình vuông, ta cần các điều kiện sau:

• ��=��EM=EN
• ��∥��EF∥MN
• ��⊥��ME⊥MN

Ta đã biết �E là trung điểm của ��AB, �F là trung điểm của ��CD, suy ra ��EF song song và bằng 1221​ độ dài ��BC, cũng như ��=��=12��EM=EN=21​BC.

Vậy, để tứ giác ����EMFN là hình vuông, ta cần ��=��BC=EF.

Tóm lại, để tứ giác ����EMFN là hình vuông, điều kiện của hình bình hành ����ABCD là ��=2��AB=2BC.