Kẻ tia AD là phân giác của góc BAC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên cạnh AB, AC

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH. Theo định lý Pythagoras, ta có:
BH^2 = AB^2 - AH^2 = 6^2 - 8^2 = 36 - 64 = -28 (vô lý vì BH^2 không thể là một số âm)
Vậy không thể tính được BH.

Góc HAC là góc giữa đường cao AH và cạnh AC của tam giác ABC. Ta có:
sin(HAC) = AH/AC = 8/8 = 1

b) Ta có góc BAC là góc giữa cạnh AB và cạnh AC của tam giác ABC. Góc BAD và góc CAD là góc phân giác của góc BAC. Vậy góc BAD = góc CAD.

Khi kẻ tia AD là phân giác của góc BAC, ta có:
∠BAD = ∠CAD
Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác đồng dạng (có cùng một góc và hai góc kề bằng nhau).

Vì vậy, ta có tỉ lệ:
AB/BD = AC/CD
6/BD = 8/CD
CD = (8/6) * BD = (4/3) * BD

Gọi x là độ dài BD, ta có:
CD = (4/3) * x

Hình chiếu của D trên cạnh AB là E, và hình chiếu của D trên cạnh AC là F. Ta có:
AE = DE = x
CF = DF = (4/3) * x

Lấy I thuộc DF, ta có AI là đường phân giác của góc BAC. Tia AI cắt đường thẳng ED tại M.

Ta cần chứng minh rằng 1/AI^2 + 1/AM^2 không đổi khi I di chuyển trên đoạn DF.

Gọi y là độ dài AI và z là độ dài AM.

Theo định lý đường phân giác, ta có tỉ lệ:
BD/CD = AB/AC
x/((4/3) * x) = 6/8
3/4 = 6/8
3/4 = 3/4

Vậy, tỉ lệ giữa BD và CD là không đổi.

Ta có:
AI/ID = AC/CD
y/(4/3 * x) = 8/((4/3) * x)
y = 8/3

Vậy, độ dài AI là không đổi khi I di chuyển trên đoạn DF.

Ta có:
AM = AE - ME = x - ME

Áp dụng định lý hình chiếu, ta có:
ME/DE = CF/DF
ME/x = (4/3 * x)/(4/3 * x)
ME = x

Vậy, độ dài ME là không đổi khi I di chuyển trên đoạn DF.

Vậy, 1/AI^2 + 1/AM^2 không đổi khi I di chuyển trên đoạn DF.