Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường trung tuyến AI, đường cao AE. Từ I kẻ IH vuông góc với AB (H thuộc AB)

a) Ta có AI là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AI cắt BC tại M sao cho AM = MC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AE cắt BC tại D sao cho AD = DC.
Vì AI là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AI song song với BC, suy ra AD song song với IK.
Vì AD song song với IK và AH vuông góc với AB nên AH vuông góc với IK.
Tương tự, AI vuông góc với KH.
Vậy ta có AHIK là hình chữ nhật.

b) Ta có H là trung điểm NI nên NH = HI.
Vì AI là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AI cắt BC tại M sao cho AM = MC.
Vì AH vuông góc với AB nên AH cắt BC tại D sao cho AD = DC.
Vì H là trung điểm NI nên NH = HI.
Ta có NH = HI = AD = DC.
Vậy ta có H là trung điểm AB.

c) Ta đã chứng minh AHIK là hình chữ nhật.
Vì AHIK là hình chữ nhật nên AH song song với IK và AI vuông góc với HK.
Vì AI vuông góc với HK nên AI cắt HK tại O sao cho AO = OI.
Vì AH song song với IK nên AH cắt IK tại P sao cho AP = PH.
Ta có AP = PH = AO = OI.
Vậy ta có AIBN là hình thoi.

d) Ta đã chứng minh AHIK là hình chữ nhật.
Vì AHIK là hình chữ nhật nên AH song song với IK và AI vuông góc với HK.
Vì AI vuông góc với HK nên AI cắt HK tại O sao cho AO = OI.
Vì AH song song với IK nên AH cắt IK tại P sao cho AP = PH.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AE cắt BC tại D sao cho AD = DC.
Vì AH vuông góc với AB nên AH cắt BC tại D sao cho AD = DC.
Ta có AD = DC = AP = PH.
Vậy ta có tam giác HEK vuông tại E.