Cho hình bình hành ABCD

a) Ta có AM = CN (theo đề bài).
Gọi I là giao điểm của AN và CM.
Áp dụng định lí Thales trong tam giác ANM, ta có:
AN/AM = AI/IM
Áp dụng định lí Thales trong tam giác CMI, ta có:
CN/CM = CI/IM
Vì AM = CN, nên AN/AM = CN/CM
Từ đó suy ra AI/IM = CI/IM
Vậy AI = CI
Do đó, AN // CM.

b) Ta cần chứng minh O là trung điểm của MN.
Gọi P là giao điểm của AB và CD.
Áp dụng định lí Thales trong tam giác ANM, ta có:
AN/AM = AP/PB
Áp dụng định lí Thales trong tam giác CMI, ta có:
CN/CM = CP/PD
Vì AM = CN, nên AN/AM = CN/CM
Từ đó suy ra AP/PB = CP/PD
Vậy P là điểm trung điểm của BD.
Do đó, O là giao điểm của AC và BD, nên O là trung điểm của MN.