Cho tam giác abc nhọn nối tiếp đường tròn o đường cao BD, CE cắt nhau tại H . AH cắt đường tròn tâm O tại K cắt BC tại M

a, Tứ giác BEDC nội tiếp:
Vì tam giác ABC nhọn, nên đường cao BD và CE đều nằm trong tam giác ABC. Khi đó, ta có:
∠BDC + ∠BEC = 180° (góc ở đỉnh)
Vì ∠BDC = ∠BEC (do BD và CE là đường cao của tam giác ABC), nên:
∠BDC + ∠BDC = 180°
2∠BDC = 180°
∠BDC = 90°
Tương tự, ta có ∠CED = 90°
Vậy tứ giác BEDC nội tiếp.

b, AE.AB = AD.AC và DH là phân giác góc EDM:
Vì tứ giác BEDC nội tiếp, nên ta có:
∠BED + ∠BDC = 180° (góc ở đỉnh)
Vì ∠BDC = 90° (do BD là đường cao của tam giác ABC), nên:
∠BED + 90° = 180°
∠BED = 90°
Tương tự, ta có ∠CED = 90°
Vậy tam giác EDM vuông tại E và D.
Do đó, DH là phân giác góc EDM.

c, Tam giác HMD ~ tam giác EBD và BQ đi qua trung điểm của DE:
Vì DH là phân giác góc EDM, nên ta có:
∠HDE = ∠EDM
Vì tam giác HMD và tam giác EBD có cặp góc tương đồng, nên ta có:
∠HMD = ∠BED
Vậy tam giác HMD tương đồng với tam giác EBD.
Khi đó, ta có:
∠HMD = ∠EBD
Vì BQ đi qua trung điểm của DE, nên ta có:
∠BQD = ∠BED
Vậy tam giác BQD tương đồng với tam giác EBD.
Vậy BQ đi qua trung điểm của DE.