Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, I là trung điểm AC, K là trung điểm AB, E là trung điểm AM

a) Tam giác AMN cân tại M.
b) Ta có AI = IC (do I là trung điểm AC) và AK = KB (do K là trung điểm AB).
Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.
Do đó, ta có góc BAI = góc IAC và góc BAK = góc KAC.
Từ đó, ta có góc BAI + góc BAK = góc IAC + góc KAC = góc IAK.
Vì tam giác AIK cân tại A, nên góc IAK = góc AKI.
Do đó, góc BAI + góc BAK = góc AKI.
Tương tự, ta có góc BAI + góc BAK = góc ABI.
Vậy, góc AKI = góc ABI.
Từ đó, ta có tam giác ABI đồng dạng với tam giác AKI.
Vì vậy, ta có AB/BI = AK/KI.
Do K là trung điểm AB, nên AK = KB.
Vậy, AB/BI = KB/KI.
Tương tự, ta có AC/CI = KC/KI.
Từ đó, ta có AB/BI = AC/CI.
Vì E là trung điểm AM, nên AE = EM.
Vậy, ta có AB/BI = AC/CI = AE/EM.
Do đó, ta có tam giác BIE đồng dạng với tam giác CIE.
Vậy, góc BEI = góc CEI.
Từ đó, ta có tam giác BEI cân tại E.
Vậy, E là trung điểm BN.
c) Để tứ giác AMCN là hình vuông, ta cần và đủ có AM = CN và góc MAN = 90 độ.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.
Do đó, ta có góc BAI = góc IAC và góc BAK = góc KAC.
Từ đó, ta có góc BAI + góc BAK = góc IAC + góc KAC = góc IAK.
Vì tam giác AIK cân tại A, nên góc IAK = góc AKI.
Do đó, góc BAI + góc BAK = góc AKI.
Tương tự, ta có góc BAI + góc BAK = góc ABI.
Vậy, góc AKI = góc ABI.
Từ đó, ta có tam giác ABI đồng dạng với tam giác AKI.
Vì vậy, ta có AB/BI = AK/KI.
Do K là trung điểm AB, nên AK = KB.
Vậy, AB/BI = KB/KI.
Tương tự, ta có AC/CI = KC/KI.
Từ đó, ta có AB/BI = AC/CI.
Vì E là trung điểm AM, nên AE = EM.
Vậy, ta có AB/BI = AC/CI = AE/EM.
Do đó, tam giác BIE đồng dạng với tam giác CIE.
Vậy, góc BEI = góc CEI.
Từ đó, ta có tam giác BEI cân tại E.
Vậy, E là trung điểm BN.
Vậy, điều kiện của ABC để tứ giác AMCN là hình vuông là E là trung điểm BN.