Tính đạo hàm theo quy tắc

Để tính đạo hàm của hàm số y = (sinx)^tanx bằng quy tắc L'Hospital, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi f(x) = (sinx)^tanx.

Bước 2: Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình f(x): ln(f(x)) = ln((sinx)^tanx).

Bước 3: Sử dụng tính chất của logarit để đưa mũ lên trước: ln(f(x)) = tanx * ln(sinx).

Bước 4: Lấy đạo hàm của cả hai vế theo biến x: (ln(f(x)))' = (tanx * ln(sinx))'.

Bước 5: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của tích: (ln(f(x)))' = tanx * (ln(sinx))' + ln(sinx) * (tanx)'.

Bước 6: Tính đạo hàm của ln(sinx) và của tanx.

- Đạo hàm của ln(sinx): (ln(sinx))' = (1/sinx) * (cosx) = cosx/sinx = cotx.

- Đạo hàm của tanx: (tanx)' = (1/cos^2x) = sec^2x.

Bước 7: Thay các giá trị đã tính được vào công thức ở bước 5: (ln(f(x)))' = tanx * cotx + ln(sinx) * sec^2x.

Bước 8: Để tính đạo hàm của f(x), ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ: (f(x))' = f(x) * (ln(f(x)))'.

Bước 9: Thay giá trị của (ln(f(x)))' vào công thức ở bước 8: (f(x))' = (sinx)^tanx * (tanx * cotx + ln(sinx) * sec^2x).

Vậy, đạo hàm của hàm số y = (sinx)^tanx theo quy tắc L'Hospital là (f(x))' = (sinx)^tanx * (tanx * cotx + ln(sinx) * sec^2x).