Để chứng minh A là trung điểm của EF, ta cần chứng minh AE = AF và EF // BC.

1. Chứng minh AE = AF:
Vì DE và CF đều vuông góc với AB, nên ta có:
∠DAE = ∠CAF (cùng vuông góc với AB)
∠ACF = ∠DAF (cùng vuông góc với AB)
Vì AD = AC, nên tam giác ADE và tam giác ACF là tam giác cân tại A.
Do đó, ta có AE = DE và AF = CF.
Vậy, AE = AF.

2. Chứng minh EF // BC:
Ta có:
∠EAB = ∠EAD + ∠DAE = ∠CAF + ∠DAE = ∠CAF + ∠CAF = 2∠CAF
∠FAB = ∠FAC + ∠CAE = ∠DAF + ∠CAE = ∠DAF + ∠DAF = 2∠DAF
Vì tam giác ADE và tam giác ACF là tam giác cân tại A, nên:
∠DAE = ∠DAF và ∠CAF = ∠CAE
Do đó, ta có:
∠EAB = ∠CAF + ∠CAF = ∠CAE + ∠CAE = ∠FAB
Vậy, ta có EF // BC.

Từ (1) và (2), ta suy ra A là trung điểm của EF và DF song song với CE.