Để chứng minh rằng x^4 + y^2023 là một số nguyên tố, ta cần chứng minh rằng nó không thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương nhỏ hơn nó.

Giả sử x^4 + y^2023 có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương a và b, với a và b đều nhỏ hơn x^4 + y^2023. Ta có:

x^4 + y^2023 = ab

Ta sẽ chứng minh rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng a và b không thể đồng thời chia hết cho x. Giả sử a và b đều chia hết cho x, tức là a = kx và b = lx, với k và l là các số nguyên dương. Thay vào biểu thức trên, ta có:

x^4 + y^2023 = (kx)(lx)
x^4 + y^2023 = klx^2

Do đó, x^4 chia hết cho x^2, và từ đó suy ra x^2 chia hết cho x. Điều này chỉ xảy ra khi x = 0, nhưng x không thể bằng 0 vì nếu không phương trình ban đầu sẽ không còn ý nghĩa.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng a và b không thể đồng thời chia hết cho y. Giả sử a và b đều chia hết cho y, tức là a = ky và b = ly, với k và l là các số nguyên dương. Thay vào biểu thức trên, ta có:

x^4 + y^2023 = (ky)(ly)
x^4 + y^2023 = kly^2

Do đó, y^2023 chia hết cho y^2, và từ đó suy ra y^2021 chia hết cho y. Điều này chỉ xảy ra khi y = 0, nhưng y không thể bằng 0 vì nếu không phương trình ban đầu sẽ không còn ý nghĩa.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng x^4 + y^2023 không thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương nhỏ hơn nó. Do đó, x^4 + y^2023 là một số nguyên tố.