Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (-2)x^2 - 10z^2 + 4xz + 4x + 4z +2016

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số A(x, z).

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Biểu thức A có thể viết lại thành:
A = (-2x^2 + 4xz + 4x) + (-10z^2 + 4z) + 2016
= -2(x^2 - 2xz - 2x) - 10(z^2 - 2z) + 2016
= -2(x^2 - 2xz + x^2 - x^2 - 2x + x^2 - 2z + 2z - z^2 + z^2) + 2016
= -2[(x - z)^2 - (x^2 - 2xz + z^2) + (x^2 - 2x + 1) + (z^2 - 2z + 1)] + 2016
= -2[(x - z)^2 - (x - z)^2 + (x - 1)^2 + (z - 1)^2] + 2016
= -2[(x - 1)^2 + (z - 1)^2] + 2016

Vậy, ta có biểu thức mới:
B = -2[(x - 1)^2 + (z - 1)^2] + 2016

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số B(x, z).

Vì (x - 1)^2 và (z - 1)^2 không thể nhỏ hơn 0, nên giá trị nhỏ nhất của B sẽ đạt được khi (x - 1)^2 = 0 và (z - 1)^2 = 0.

Từ đó, ta có x = 1 và z = 1.

Thay x = 1 và z = 1 vào biểu thức A, ta có:
A = -2(1)^2 - 10(1)^2 + 4(1)(1) + 4(1) + 4(1) + 2016
= -2 - 10 + 4 + 4 + 4 + 2016
= 2016 - 4 - 10 + 4 + 4 + 4
= 2016

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016.