a) Để thu gọn tổng A, ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân có công bội là 2:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu tiên của cấp số nhân, a = 2^1 = 2
- r là công bội của cấp số nhân, r = 2
- n là số lượng số hạng trong cấp số nhân, n = 60

Áp dụng công thức trên, ta có:

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60
= 2 * (2^60 - 1) / (2 - 1)
= 2 * (2^60 - 1)

b) Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, 5, 7, ta sẽ chứng minh rằng A chia hết cho 105 (tích của 3, 5, 7).

Ta biết rằng nếu một số chia hết cho 105, thì nó cũng chia hết cho 3, 5, 7.

Ta có:

A = 2 * (2^60 - 1)
= 2^61 - 2

Ta sẽ chứng minh rằng 2^61 - 2 chia hết cho 105.

Ta biết rằng 2^60 chia hết cho 105 (vì 105 = 3 * 5 * 7 và 2^60 chia hết cho 3, 5, 7).

Vì vậy, ta có thể viết 2^60 dưới dạng 105k (với k là một số nguyên).

2^61 - 2 = 2 * 2^60 - 2 = 2 * 105k - 2 = 210k - 2

Ta thấy rằng 210k - 2 chia hết cho 105 (vì 210k chia hết cho 105 và -2 chia hết cho 105).

Vậy, ta kết luận rằng A chia hết cho 3, 5, 7.