a) Ta có dãy số hình thành bởi các số mũ của 2 là dãy số hình thành bởi các phần tử của dãy Fibonacci. Vì vậy, ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy Fibonacci để tính tổng A.

Công thức tổng của dãy Fibonacci là: F(n) = F(n+2) - 1

Áp dụng công thức này vào dãy số hình thành bởi các số mũ của 2, ta có:
A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2019
= (2^2 - 1) + (2^3 - 1) + (2^4 - 1) + ... + (2^2021 - 1)
= (2^2021 - 2) - 2020
= 2(2^2020 - 1) - 2020

Ta thấy rằng 2^2020 - 1 chia hết cho 3 và 7, do đó A chia hết cho 3 và 7.

b) Ta cần chứng minh rằng A + 1 là một số chính phương.

Ta có:
A + 1 = 2(2^2020 - 1) - 2019

Đặt x = 2^2020 - 1, ta có:
A + 1 = 2x - 2019

Ta thấy rằng 2x chia hết cho 3 và 2019 chia hết cho 3, do đó A + 1 chia hết cho 3.

Đặt y = x/3, ta có:
A + 1 = 6y - 2019

Ta thấy rằng 6y chia hết cho 7 và 2019 chia hết cho 7, do đó A + 1 chia hết cho 7.

Vậy, A + 1 chia hết cho cả 3 và 7, tức là A + 1 là một số chính phương.