Ta có:
2/ab + 3/(a^2 + b^2) = 2/ab + 3/[(a + b)^2 - 2ab] = 2/ab + 3/(1 - 2ab)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2/ab + 3/(1 - 2ab) ≥ 2√[(2/ab) * (3/(1 - 2ab))] = 2√[6/(ab(1 - 2ab))]
Ta cần chứng minh: 2√[6/(ab(1 - 2ab))] ≥ 14
Tương đương với: √[6/(ab(1 - 2ab))] ≥ 7
Tương đương với: 6/(ab(1 - 2ab)) ≥ 49
Tương đương với: 6 ≥ 49ab(1 - 2ab)
Tương đương với: 49ab(2ab - 1) + 6 ≥ 0
Đặt x = ab, ta có: 49x(2x - 1) + 6 ≥ 0
Tương đương với: 98x^2 - 49x + 6 ≥ 0
Áp dụng công thức giải phương trình bậc 2, ta có:
x = (49 ± √(49^2 - 4*98*6))/(2*98) = (49 ± √(2401 - 2352))/196 = (49 ± √49)/196 = (49 ± 7)/196
Ta có 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: x = (49 + 7)/196 = 56/196 = 7/25
- Trường hợp 2: x = (49 - 7)/196 = 42/196 = 3/14
Ta thấy cả 2 trường hợp đều thỏa mãn 98x^2 - 49x + 6 ≥ 0
Vậy ta kết luận rằng: 2/ab + 3/(a^2 + b^2) ≥ 14.