Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D

a) Ta có BA=BE và góc ABD = góc EBD (do BD là phân giác của góc B), nên theo góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABD = tam giác EBD.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAC + góc BCA = 90 độ + góc BCA = 180 độ. Vì vậy, góc BCA = 90 độ - góc BAC = 90 độ - 90 độ = 0 độ. Do đó, tam giác BCA là tam giác cân tại B.

Vì tam giác BCA là tam giác cân tại B, nên góc BCA = góc BAC. Vì góc BCA = 0 độ, nên góc BAC = 0 độ. Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Vậy, tam giác ABD = tam giác EBD và BED = 90 độ.

b) Ta có tam giác ABD = tam giác EBD (vì BA = BE và góc ABD = góc EBD). Vì vậy, góc ADB = góc EDB.

Góc ADB + góc EDB = 180 độ (do là góc trong của tam giác ADB và tam giác EDB). Vì góc ADB = góc EDB, nên 2 góc này có tổng bằng 180 độ/2 = 90 độ.

Do đó, tam giác ADB và tam giác EDB là 2 tam giác vuông cân tại D.

Vậy, AD = ED.

Gọi F là giao điểm của tia ED. Ta có AD = ED, nên tam giác ADF và tam giác EDF là 2 tam giác vuông cân tại D.

Vì vậy, góc ADF = góc EDF.

Do góc ADF = góc EDF và góc ADB = góc EDB, nên góc ADF + góc ADB = góc EDF + góc EDB.

Vậy, góc ADF + góc ADB = góc EDF + góc EDB.

Do đó, góc ADF + góc ADB = góc EDF + góc EDB = 180 độ.

Vậy, tam giác ADF và tam giác EDB là 2 tam giác có tổng góc bằng 180 độ.

Vì vậy, tam giác ADF và tam giác EDB là 2 tam giác đồng dạng.

Do đó, DF = DC.

c) Ta có EM vuông góc với DC (do EM là đường cao của tam giác EDC) và AN vuông góc với DF (do AN là đường cao của tam giác ADF).

Gọi I là giao điểm của AN và EM.

Vì EM vuông góc với DC và AN vuông góc với DF, nên EM || AN.

Vì EM || AN và E, M, A, N là các điểm trên cạnh BC, nên EMAN là hình bình hành.

Vì EMAN là hình bình hành, nên EM = AN.

Vì EM = AN và EM || AN, nên tam giác EMI và tam giác ANI là 2 tam giác đồng dạng.

Vì tam giác EMI và tam giác ANI là 2 tam giác đồng dạng, nên góc EMI = góc ANI.

Vì góc EMI = góc ANI và góc EMD = góc AND (do EM || AN), nên góc EMD = góc AND.

Vậy, 3 điểm B, D, I thẳng hàng.