Cho tam giác ABC cân, tia đối các tia BA

a) Ta có tam giác ABC cân, nên BD và CE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, BD = CE.
Từ đó, ta có BD = CE = DM + ME.
Vì DM và ME là đường cao của tam giác BDC và CEB, nên DM || CE và ME || BD.
Do đó, ta có DE || AB.

b) Ta có tam giác ABC cân, nên BD và CE là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC cân, nên BD và CE là đường cao của tam giác BDC và CEB.
Vậy, ta có DM ⊥ BC và EN ⊥ BC.
Do đó, tam giác BDM và tam giác CEN là tam giác vuông cân.
Vì tam giác vuông cân có đường cao bằng nửa đường chéo, nên ta có DM = EN.

c) Ta có DE || AB (chứng minh ở câu a).
Vì DE || AB, nên ta có góc DME = góc BAC (cùng chắn cung DE trên đường tròn (ABC)).
Vì DM = EN (chứng minh ở câu b), nên ta có góc DEM = góc ENM.
Vậy, ta có góc DME = góc DEM = góc BAC.
Do đó, tam giác AMN cân.

d) Ta có tam giác ABC cân, nên BD và CE là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì BD và CE là đường trung tuyến, nên ta có BD = CE.
Vì DM = EN (chứng minh ở câu b), nên ta có BD + DM = CE + EN.
Từ đó, ta có BM = CN.
Vì BM = CN, nên góc BMA = góc CNA (cùng chắn cung BM trên đường tròn (ABC)).
Vì tam giác ABC cân, nên góc BAC = góc ABC.
Vậy, ta có góc BAC = góc BMA + góc CNA.
Do đó, AE là phân giác góc BAC.
Tương tự, ta cũng có AE là phân giác góc MAC.