Để chứng minh rằng tổng của một dãy số là bội (hoặc không là bội) của một số tự nhiên, ta cần chứng minh rằng tổng đó chia hết (hoặc không chia hết) cho một số tự nhiên nào đó.

Giả sử có một dãy số a1, a2, a3, ..., an và ta muốn chứng minh rằng tổng của dãy số này là bội (hoặc không là bội) của một số tự nhiên m.

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng định nghĩa của phép chia hết. Theo định nghĩa, một số tự nhiên a chia hết cho một số tự nhiên b nếu tồn tại một số tự nhiên k sao cho a = b * k.

Giả sử tổng của dãy số a1, a2, a3, ..., an là S = a1 + a2 + a3 + ... + an.

Nếu tổng S chia hết cho m, tức là S chia hết cho m, thì tồn tại một số tự nhiên k sao cho S = m * k. Điều này chứng minh rằng tổng của dãy số là bội của m.

Ngược lại, nếu tổng S không chia hết cho m, tức là S không chia hết cho m, thì không tồn tại số tự nhiên k nào sao cho S = m * k. Điều này chứng minh rằng tổng của dãy số không là bội của m.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tổng của một dãy số là bội (hoặc không là bội) của một số tự nhiên.