Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ phân giác BE (E thuộc AC). Kẻ EH vuông góc BC (H thuộc BC), M là giao điểm của tia BA và tia HE

Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các định lí cơ bản về tam giác và phép đồng dạng tam giác.

1) Ta có:
∠AEB = ∠HEB (do BE là phân giác của ∠AEB)
∠BAE = ∠BEH (do AE là phân giác của ∠BAH)
Vậy tam giác ABE và tam giác HBE có hai góc tương đồng nhau, nên chúng là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có tam giác ABE = tam giác HBE.

2) Ta có:
∠BEH = ∠BAE (do AE là phân giác của ∠BAH)
∠BHE = ∠BAE (do EH vuông góc BC)
Vậy tam giác BEH và tam giác BAE có hai góc tương đồng nhau, nên chúng là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có BE/BA = BH/BE.
Từ đó suy ra BE^2 = BH.BA.
Mà ta có: BH.BC = BE^2 (do BH vuông góc BC và BE là phân giác của ∠AEB).
Vậy BH.BC = BE^2 = BH.BA.
Từ đó suy ra BC = BA.
Vậy tam giác BAC là tam giác đều.
Do đó, ta có EC = AC/2 = BC/2.
Vậy EM = EC.

3) Ta có:
∠BHE = ∠BAE (do EH vuông góc BC)
∠BEM = ∠BEA (do ME là phân giác của ∠AEB)
Vậy tam giác BEM và tam giác BEA có hai góc tương đồng nhau, nên chúng là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có BM/BE = BE/BA.
Từ đó suy ra BM.BA = BE^2 = BH.BC.
Vậy tam giác MBC và tam giác BAH có hai cạnh tương ứng bằng nhau, nên chúng là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có BC/BH = BM/BA.
Từ đó suy ra BC/BH = BM/BC.
Từ đó suy ra BC^2 = BH.BM.
Vậy BC = BM.
Vậy BC = MH.