Cho ∆ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm của AC. D là điểm đối xứng của M qua N

a) Tứ giác ADCM là hình chữ nhật. Vì AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC. Mà AD là đường cao của tam giác ADC, nên AD vuông góc với DC. Vậy tứ giác ADCM là hình chữ nhật.

b) Ta có AM vuông góc với BC (do AM là đường cao của tam giác ABC), và AD vuông góc với DC (do AD là đường cao của tam giác ADC). Vậy AM // DC. Mà DN là đường cao của tam giác ADC, nên DN vuông góc với AC. Vậy DN // AC. Do đó, DN // AC // BM. Mà N là trung điểm của AC, nên N cũng là trung điểm của BM. Vậy BN = NM. Mà DN = NM (do D là điểm đối xứng của M qua N), nên DN = BN = NM. Vậy tứ giác ABMD là hình bình hành.

Đồng thời, vì DN = NM, nên DN cắt BM ở trung điểm O của AM. Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.

c) Ta có tứ giác ABMD là hình bình hành, nên BD song song với AM. Vậy BD cắt AC tại I, thì DI cắt BM tại O (vì BD đi qua trung điểm O của AM). Vậy tứ giác DIOB là tứ giác đồng quy. Mà tứ giác DIOB là hình bình hành, nên DI song song với OB. Vậy DI = 2/3OB.

d) Ta có N là trung điểm của AC, nên NE là đường cao của tam giác ABC. Vậy NE vuông góc với BC. Mà E là hình chiếu của N trên BC, nên OE vuông góc với BC. Vậy IN // OE.

e) Để tứ giác ONEM là hình vuông, ta cần thêm điều kiện ON = NE và OM = ME.