Để chứng minh tam giác DEF đều và K là trung điểm CF, ta sẽ sử dụng các bước sau:

Bước 1: Chứng minh tam giác AEF đều.
Vì tam giác AEB là tam giác đều, nên ta có AE = AB.
Vì hình vuông ABCD, ta có AB = BC.
Do đó, ta có AE = BC.
Vì AE || BC (do là cạnh của hình vuông), nên tam giác AEF và tam giác BCF là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có EF || CF.
Vì AE giao BD tại F, nên ta có EF giao CF tại K.
Vậy, ta có EF || CF và EF giao CF tại K, nên tam giác AEF và tam giác BCF là hai tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF là tam giác đều, nên tam giác BCF cũng là tam giác đều.
Vậy, tam giác AEF và tam giác BCF đều.

Bước 2: Chứng minh tam giác DEF đều.
Vì tam giác AEF và tam giác BCF đều, nên ta có EF = AF và CF = BF.
Vì AE giao BD tại F, nên ta có EF = AF và BF = DF.
Do đó, ta có EF = AF = BF = DF.
Vậy, tam giác DEF là tam giác đều.

Bước 3: Chứng minh K là trung điểm CF.
Vì tam giác BCF là tam giác đều, nên ta có CF = BF.
Vì DE giao FC tại K, nên ta có DK = CK.
Vì tam giác DEF là tam giác đều, nên ta có DF = EF.
Do đó, ta có DK = CK = DF = EF.
Vậy, K là trung điểm CF.

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác DEF đều và K là trung điểm CF.