a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, AH vuông góc với AB và AC.
Ta có HE ⊥ AB và HF ⊥ AC.
Vậy ta có hai tam giác vuông AHF và AHE.
Do đó, ta có AH = EF (cạnh huyền của tam giác vuông AHF bằng cạnh huyền của tam giác vuông AHE).

b) Ta có FK = AF (theo giả thiết).
Vì tam giác EHKF là hình bình hành (hai cạnh đối nhau vuông góc), nên ta có HK = EF.
Vậy ta có HK = EF = AF = FK.
Do đó, ta có tam giác EHKF là hình bình hành có cạnh EF bằng cạnh FK.

c) Ta có O là giao điểm của AH và EF, I là giao điểm của HF và EK.
Theo định lí Thales, ta có:
$\frac{OI}{AK} = \frac{HE}{HK} = \frac{HE}{EF}$
Vì tam giác AHE và tam giác AHF đồng dạng (có góc vuông chung), nên ta có:
$\frac{HE}{EF} = \frac{AH}{AF} = \frac{AH}{AK}$
Vậy ta có OI // AC và $\frac{OI}{AK} = \frac{AH}{AK} = \frac{1}{4}$.