Cho D = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^2025. Chứng minh D chia hết cho 65

Để chứng minh D chia hết cho 65, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng của D chia hết cho 65.

Ta có công thức tổng của dãy số hạng cấp số cộng: S = a * (r^n - 1) / (r - 1), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức trên vào dãy số hạng của D, ta có:
D = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^2025
= 5 * (5^2025 - 1) / (5 - 1)

Ta thấy rằng 5^2025 - 1 chia hết cho 5 - 1 = 4, vì 5^2025 - 1 có dạng 5^n - 1, với n là số nguyên dương chia hết cho 4.

Vậy D = 5 * (5^2025 - 1) / (5 - 1) chia hết cho 4.

Ta cần chứng minh rằng D chia hết cho 13.

Ta thấy rằng 5^6 - 1 chia hết cho 13, vì 5^6 - 1 = (5^3)^2 - 1 = (125)^2 - 1 = 15624 - 1 = 15623 = 13 * 1201.

Vậy D = 5 * (5^2025 - 1) / (5 - 1) chia hết cho 13.

Vậy D = 5 * (5^2025 - 1) / (5 - 1) chia hết cho 4 và 13.

Vì 4 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên D chia hết cho 4 * 13 = 52.

Vậy D chia hết cho 65.