Cho 2đường thẳng (d1): mx -y=2 và (d2): (2-m)x+y=m

a) Để tìm giao điểm của đường thẳng d1 và d2 với m=2, ta thay m=2 vào phương trình của d1 và d2.

Với d1: mx - y = 2
Thay m=2 vào: 2x - y = 2

Với d2: (2-m)x + y = m
Thay m=2 vào: 0x + y = 2

Phương trình của d1 và d2 khi m=2 là:
2x - y = 2
y = 2

Giao điểm của d1 và d2 là điểm có tọa độ (x, y) thỏa mãn cả hai phương trình trên. Từ phương trình y = 2, ta thấy y luôn bằng 2. Thay y=2 vào phương trình d1, ta có:
2x - 2 = 2
2x = 4
x = 2

Vậy giao điểm của d1 và d2 với m=2 là điểm có tọa độ (2, 2).

b) Để chứng minh rằng đường thẳng d1 luôn đi qua một điểm cố định B và d2 luôn đi qua một điểm cố định C, ta cần chứng minh rằng phương trình d1 và d2 có dạng chung.

Phương trình d1: mx - y = 2
Phương trình d2: (2-m)x + y = m

Để tìm điểm B và C, ta giải hệ phương trình:
mx - y = 2
(2-m)x + y = m

Cộng hai phương trình lại, ta có:
(2x) + (mx) = 2 + m
(2+m)x = 2 + m
x = 1

Thay x=1 vào phương trình d1, ta có:
m - y = 2
y = m - 2

Vậy điểm B có tọa độ (1, m-2) và điểm C có tọa độ (1, m).

c) Để tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông, ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức: tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|

Với d1: mx - y = 2
Với d2: (2-m)x + y = m

Tính đạo hàm của d1 và d2, ta có:
d1: y = mx - 2
d2: y = (2-m)x + m

Đạo hàm của d1 là m và đạo hàm của d2 là 2-m.

Thay vào công thức góc giữa hai đường thẳng, ta có:
tan(θ) = |(m - (2-m)) / (1 + m * (2-m))|
tan(θ) = |(2m - 2) / (1 + 2m - m^2)|

Để góc BAC vuông, ta cần có tan(θ) = -1.

Vậy ta cần giải phương trình:
|(2m - 2) / (1 + 2m - m^2)| = 1

Có hai trường hợp xảy ra:
1) (2m - 2) / (1 + 2m - m^2) = 1
2m - 2 = 1 + 2m - m^2
m^2 - 3m + 1 = 0

2) (2m - 2) / (1 + 2m - m^2) = -1
2m - 2 = -1 - 2m + m^2
m^2 - 4m + 1 = 0

Giải phương trình (1), ta có:
m^2 - 3m + 1 = 0
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
m = (3 ± √(3^2 - 4*1*1)) / (2*1)
m = (3 ± √(9 - 4)) / 2
m = (3 ± √5) / 2

Giải phương trình (2), ta có:
m^2 - 4m + 1 = 0
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
m = (4 ± √(4^2 - 4*1*1)) / (2*1)
m = (4 ± √(16 - 4)) / 2
m = (4 ± √12) / 2
m = (4 ± 2√3) / 2
m = 2 ± √3

Vậy các giá trị của m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông là:
m = (3 ± √5) / 2 hoặc m = 2 ± √3.