a) Ta có AD = DE (theo đề bài). Vì D là trung điểm của BC nên AD là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có AADC = AEDB (theo tính chất đường trung bình).

Tiếp theo, ta chứng minh BE || AC. Ta có:

Gọi I là giao điểm của AC và DE. Ta cần chứng minh BE || AC, tương đương với chứng minh AI là đường trung trực của tam giác BDE.

Vì AD = DE (theo đề bài) và AADC = AEDB (vừa chứng minh ở trên), ta có:

∠ADE = ∠AED (cùng là góc nội tiếp trên cùng cung AD)

∠AED = ∠AED (cùng là góc nội tiếp trên cùng cung DE)

Vậy, ta có ∠ADE = ∠AED.

Do đó, AI là đường trung trực của tam giác BDE.

Vậy, ta có BE || AC.

b) Ta có AM || EN (vì M và N đều nằm trên BC và AM, EN đều song song với BC).

Vì AADC = AEDB (vừa chứng minh ở câu a), AM || EN và AD = DE (theo đề bài), nên theo định lí Thales, ta có AAMD = AEND.

Từ đó, suy ra MD = DN (vì AAMD = AEND và AM || EN).

c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD không chứa điểm C, vẽ tia Ax song song với BC. Trên tia Ax lấy điểm F sao cho AF = BC.

Ta cần chứng minh E, B, F thẳng hàng.

Vì AF = BC và BE || AC (vừa chứng minh ở câu a), nên theo định lí Thales, ta có AE/AF = AD/AC = 1 (vì AD = DE và AC = BC).

Do đó, ta có AE = AF.

Vậy, E, B, F thẳng hàng.