1) Ta có:
a^2 + ab + b^2/3 = 15
c^2 + b^2/3 = 6
a^2 + ac + c^2 = 9

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được:
3a^2 + 3ab + b^2 = 45

Cộng hai phương trình trên, ta có:
3a^2 + 3ab + b^2 + c^2 + b^2/3 + a^2 + ac + c^2 = 15 + 6 + 9
4a^2 + 3ab + 4b^2 + 3c^2 + ac = 30

Từ phương trình thứ hai, ta có:
3c^2 + b^2/3 = 6
9c^2 + b^2 = 18

Thay vào phương trình trên, ta có:
4a^2 + 3ab + 9c^2 + b^2 + ac = 30
4a^2 + 3ab + 18 + ac = 30
4a^2 + 3ab + ac = 12

Từ phương trình thứ ba, ta có:
a^2 + ac + c^2 = 9
a^2 + 9c^2 + ac = 27
4a^2 + 36c^2 + 4ac = 108

Trừ hai phương trình trên, ta có:
4a^2 + 3ab + ac - (4a^2 + 36c^2 + 4ac) = 12 - 108
3ab - 36c^2 = -96
ab - 12c^2 = -32

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
a^2 + ab + b^2/3 = 15
3a^2 + 3ab + b^2 = 45
36a^2 + 36ab + 12b^2 = 540

Trừ hai phương trình trên, ta có:
36a^2 + 36ab + 12b^2 - (ab - 12c^2) = 540 - (-32)
36a^2 + 37ab + 12b^2 + 12c^2 = 572

Từ phương trình thứ ba, ta có:
a^2 + ac + c^2 = 9
9a^2 + 9ac + 9c^2 = 81
36a^2 + 36ac + 36c^2 = 324

Trừ hai phương trình trên, ta có:
36a^2 + 37ab + 12b^2 + 12c^2 - (36a^2 + 36ac + 36c^2) = 572 - 324
37ab + 12b^2 - 36ac = 248

Từ phương trình trên, ta có:
2c/a = (b+c)/(a+c)

2) Ta có:
(bz-cy)/a = (cx-az)/b = (ay-bx)/c

Từ phương trình trên, ta có:
x/a = y/b = z/c

3) Ta có:
(x^2 - yz)/a = (y^2 - zx)/b = (z^2 - xy)/c

Từ phương trình trên, ta có:
(a^2 - bc)/x = (b^2 - ca)/y = (c^2 - ab)/z

4) Ta có:
(5x-2y)/(3x+4y) = 3/4

Giải phương trình y^2 - 5y + 4 = 0, ta được y = 1 hoặc y = 4

Khi y = 1, ta có:
(5x-2)/(3x+4) = 3/4
20x - 8 = 9x + 12
11x = 20
x = 20/11

Khi y = 4, ta có:
(5x-8)/(3x+16) = 3/4
20x - 32 = 9x + 48
11x = 80
x = 80/11

Vậy có hai nghiệm là (x, y) = (20/11, 1) và (x, y) = (80/11, 4)

5) Gọi 3 số trong tỷ lệ là 2x, 3y và z

Theo đề bài, ta có:
2x + 3y + z = A
(2x)^2 + (3y)^2 + z^2 = 24309

Suy ra:
4x^2 + 9y^2 + z^2 = 24309

Từ đó, ta có:
A = 2x + 3y + z = √(4x^2 + 9y^2 + z^2) = √24309 = 3√2701

Vậy số A là 3√2701.