Cho tứ giác lồi ABCD. Kẻ hai đường thẳng song song với AC

Ta có tứ giác lồi ABCD, kẻ hai đường thẳng song song với AC cắt BD tại I.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua điểm I ta có:
$\dfrac{AG}{GB} \cdot \dfrac{BI}{ID} \cdot \dfrac{DC}{CA} = 1$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ADC và đường thẳng đi qua điểm I ta có:
$\dfrac{AF}{FD} \cdot \dfrac{DI}{IB} \cdot \dfrac{BC}{CA} = 1$

Kết hợp hai công thức trên ta có:
$\dfrac{AG}{GB} \cdot \dfrac{BI}{ID} \cdot \dfrac{DC}{CA} \cdot \dfrac{AF}{FD} \cdot \dfrac{DI}{IB} \cdot \dfrac{BC}{CA} = 1$

$\Rightarrow \dfrac{AG}{GB} \cdot \dfrac{BI}{ID} \cdot \dfrac{AF}{FD} \cdot \dfrac{DI}{IB} = 1$

$\Rightarrow \dfrac{AG}{GB} \cdot \dfrac{AF}{FD} = \dfrac{ID}{IB} \cdot \dfrac{ID}{DI} = \left(\dfrac{ID}{DI}\right)^2$

Do đó, ta có $\dfrac{AG}{GB} \cdot \dfrac{AF}{FD} = 1$ hay $GE$ và $HF$ đồng quy trên $BD$.

Vậy ta đã chứng minh điều phải chứng minh.