Để chứng minh rằng BHCI nội tiếp, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Trong tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chính là đường trung tuyến.
2. Trong hình thang vuông, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Ta có:
- E là trung điểm của AD, nên BE là đường trung tuyến của tam giác ABD.
- Do đó, BE là đường phân giác của góc ABD.
- Vì AH vuông góc với BE, nên AH cũng là đường phân giác của góc ABD.
- Tương tự, DI là đường phân giác của góc BCD.

Khi đó, ta có:
∠ABH = ∠HBE (do AH là đường phân giác của góc ABD)
∠DCI = ∠ICE (do DI là đường phân giác của góc BCD)

Như vậy, ta có:
∠ABH = ∠HBE = ∠ICE = ∠DCI

Do đó, tứ giác BHCI là tứ giác nội tiếp.