Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AO, qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tâm O tại K. Trên đoạn IK lấy điểm C kẻ AC cắt nửa đường tròn tâm O tại M kẻ BM cắt IK tại D gọi D là giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M và N. Chứng minh ND = NC

Ta có:
- Vì I là trung điểm của đường tròn nên IO vuông góc với AB.
- M là trung điểm của AC nên OM vuông góc với AC.
- Do đó, OM // IO và IM = MO = OI.
- Ta có: ∠MIO = 90°, ∠MIO = ∠MIO (cùng chắn cung MK trên đường tròn).
- Vậy tam giác MIO đều.
- Khi đó, IM = MO = OI = R (với R là bán kính của đường tròn).
- Ta có: ∠MID = 90° (do MD là tiếp tuyến của đường tròn tại M).
- Vậy tam giác MID vuông tại D.
- Khi đó, theo định lý Pythagore trong tam giác vuông MID, ta có: MD² = MI² + ID².
- Ta cũng có: MI = MO = R, ID = IC - DC = IC - AC = IC - 2R.
- Vậy MD² = R² + (IC - 2R)² = R² + IC² - 4RC + 4R² = IC² - 3R² - 4RC.
- Ta cũng có: NC = MC = R (vì M là trung điểm của AC).
- Vậy ND = MD - NC = IC² - 3R² - 4RC - R = IC² - 3R² - 4RC - R = IC² - 4R² - 4RC = IC² - 4R(IC + R) = IC(IC - 4R) = NC(IC - 4R) = NC² = NC.
- Vậy ND = NC.