a) Ta có:
\(\angle AEB = \angle AFC\) (cùng nằm trên cung cùng tia)
\(\angle AHE = \angle ACF\) (do AH là đường cao trong tam giác AFC)
\(\angle AEB = \angle AHE\) (do AB = AC)
Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

Để xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF, ta có:
\(\angle AIF = 180^\circ - \angle AEF = 180^\circ - \angle AHF = \angle AHI\)
Vậy I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

b) Ta có:
\(\angle AFE = \angle AHE\) (do tứ giác AEHF nội tiếp)
\(\angle AFE = \angle AGH\) (do AF // GH)
Vậy \(\angle AGH = \angle AHE\), từ đó suy ra \(\triangle AGH \sim \triangle AHE\).
Từ đó, ta có: \(\frac{AF}{AH} = \frac{AG}{AE}\)
Do đó, \(AF \cdot AE = AH \cdot AG\)
Vì AB = AC nên \(AF \cdot AC = AH \cdot AG\)
Vậy \(AF \cdot AC = AH \cdot AG\)

c) Ta có:
\(\angle AIG = \angle AEG\) (cùng nằm trên cùng tia)
\(\angle AIE = \angle AFE\) (do tứ giác AEHF nội tiếp)
Vậy GE là tiếp tuyến của đường tròn (I).