Cho (O) đường kính BC . Trên (O) lấy điểm A sao cho AB

a) Ta có:
- Vì MN vuông góc với BC nên tam giác ABN vuông tại N.
- Do đó, ta có AN là đường cao của tam giác ABN nên AM là đường trung bình của tam giác ABN.
- Vậy A, B, M, E cùng thuộc một đường tròn.
- Tương tự, ta có tam giác AMC vuông tại M nên tam giác AMC cũng là tam giác vuông cân tại M.
- Do đó, ta có N, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại A của (O) với MN. Ta cần chứng minh tam giác AHE cân.
Ta có:
- Vì AB // IH nên góc AHI = góc B.
- Vì AB // IH, AM là đường trung bình của tam giác ABN nên AM = MN.
- Vậy tam giác AHN cũng là tam giác cân.
- Do đó, ta có góc AHN = góc ANH = 90° - góc AHN = 90° - góc B = góc AHE.
- Vậy tam giác AHE cân.

c) Gọi D là giao điểm thứ 2 của đường thẳng NC với (O). Ta cần chứng minh HD là tiếp tuyến của (O).
Ta có:
- Vì N, A, M, C cùng thuộc một đường tròn nên góc NMC = góc NAC = góc B.
- Vì góc NMC = góc NDC = góc B nên N, D, M, C cùng thuộc một đường tròn.
- Vậy góc HDC = góc DMC = góc B.
- Vì góc B = góc AHN = góc AHD nên HD là tiếp tuyến của (O).